Minecraft & Probas : Pêche, minage & loi binomiale

[latexpage]

Le hasard tient une place prépondérante dans de nombreux mécanismes de Minecraft, influençant logiquement le jeu. Qu’il s’agisse de pêche, de drop ou de génération de monde (et donc de minerais), il fait ressentir son influence dans de nombreux domaines. S’il est relativement simple de calculer des probabilités basiques, notamment pour le drop de monstre, d’autres font appel à des calculs plus complexes, notamment la pêche et la répartition des minerais. Le calcul à la main étant alors souvent laborieux, des outils mathématiques efficaces permettent de s’y substituer pour obtenir un résultat rapide et précis. Ici, il sera question de loi binomiale, une loi de probabilité vue en classe de première.

Qu’est-ce que la loi binomiale ?

La loi binomiale est une loi de probabilité. Elle permet donc de modéliser des événements aléatoires pour calculer leurs probabilités. La loi binomiale en elle-même n’est sans doute pas inconnue des lycéens, puisqu’elle est enseignée et utilisée dès la première.

Cette loi a pour but de modéliser une suite d’événements aléatoires, indépendants et successifs, composés chacun de deux issues : succès et échec. On appelle X la variable qui compte le nombre total de succès sur un nombre n d’événements. Cette définition pouvant laisser certains perplexes, prenons un exemple : imaginons que j’ai un sac de billes contenant 3 billes bleues et 4 billes rouges (7 billes au total). Sans regarder, je tire successivement 5 billes. Après chaque tirage, je remets la bille tirée dans le sac. Je gagne 5€ par bille bleue tirée, on considère donc que tirer une bille bleue est pour moi un succès, car je gagne de l’argent. Cette situation peut être modélisée par une loi binomiale, car :

• Chaque tirage a un succès (tirer une boule bleue) et un échec (tirer une bille rouge), donc deux issues avec une probabilité de succès de 3/7;
• Chaque tirage est effectué de façon successive (j’en tire 4);
• Chaque tirage est effectué de façon aléatoire (je ne triche pas);
• Chaque tirage est effectué de façon indépendante (aucun d’entre eux n’est influencé par le précédent, puisque je remets la bille tirée à chaque fois).

Ces conditions permettent d’établir une loi binomiale.

Dans notre cas, X est donc le nombre de fois que je tirerai une bille bleue au cours de ces 5 tirages.

Une loi binomiale a deux paramètres : le nombre de tirages, nommé n et la probabilité du succès, p. Dans notre cas, n vaut 5 (5 tirages) et p vaut 3/7 (3 billes bleues sur 7 billes au total). Une loi binomiale peut être exprimée sous la forme \(B(n;p)\). Aussi, notre loi binomiale s’exprime sous la forme \(B(5;3/7)\).

Calculer une probabilité avec la loi binomiale :

Pour calculer une probabilité suivant une loi binomiale, on utilise la formule suivante : \[p(X=k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Avec k le nombre de succès. \(p(X=k)\) est la probabilité qu’il y ait exactement k succès pour n tirages.

Revenons à nos billes. Mettons qu’on veut calculer la probabilité de tirer exactement deux boules bleues sur ces 5 tirages. On a donc : \[p(X=2)=\binom{5}{2} \times (3/7)^2 \times (4/7)^3=0,343\]

Toute loi binomiale a une espérance, c’est-à-dire un nombre moyen de succès.

L’espérance se note  et se calcule ainsi : \[E(X)=n \cdot p\]

Dans notre cas, \(E(X)\) vaut 2,9, que l’on peut arrondir à 3 pour obtenir un nombre entier. Le nombre moyen de boules bleues obtenu sur 5 tirages vaut donc environ 3.

Application de la loi binomiale dans Minecraft :

La loi binomiale peut donc servir à modéliser des situations dans lesquelles on répète successivement plusieurs fois la même expérience aléatoire sans que l’issue d’une expérience affecte la suivante. Dans Minecraft, deux activités remplissent ces critères : la pêche et le minage.

---

Pêche & loi binomiale :

Le résultat d’une session de pêche peut être modélisé par une loi binomiale car :

• Chaque lancer de hameçon a un succès (obtenir l’item voulu) et un échec (en obtenir un autre), donc deux issues avec une probabilité de succès dépendant de l’item voulu, mais connue grâce à cette page;
• Chaque lancer est effectuée de façon successive (puisque lorsque je pêche, je retente plusieurs fois ma chance);
• Le résultat de chaque lancer est aléatoire (puisque l’item obtenu vous est attribué de façon totalement aléatoire);
• Chaque prise est effectuée de façon indépendante (le résultat d’une prise n’affecte pas la suivante).

La loi binomiale peut donc nous permettre de déterminer la probabilité d’obtenir tel ou tel item au bout d’un certain nombre de lancers de hameçon.

Mettons que, par une journée ensoleillée, vous vous mettez à pêcher. Votre canne à pêche n’est pas enchantée et vous décidez de lancer 15 fois votre hameçon. Votre objectif est simple : obtenir un trésor, quel qu’il soit. Ce sera votre succès et grâce à cette page, on sait que sa probabilité vaut 0,048. La loi binomiale modélisant votre situation a donc pour paramètres \(n=15\) et \(p=0,048\). On peut la noter ainsi : \(B(15;0,048)\)

D’après la formule mentionnée précédemment, la probabilité d’obtenir exactement un trésor à l’issue de votre session de pêche peut se calculer ainsi : \[p(X=1)=\binom{15}{1} \times 0,048^1 \times (1-0,048)^{14} = 0,362\]

La probabilité d’obtenir exactement un trésor en 15 lancers de hameçon est donc de 0,362, soit un peu plus d’une chance sur trois.

Nous avions jusque-là appris à calculer la probabilité pour X d’avoir une valeur exacte. Ici, nous cherchons la probabilité d’obtenir au moins un trésor. Notre probabilité s’écrit donc sous la forme p(X>0). Comment la calculer à partir de notre formule ? Et bien, cette probabilité correspond à l’événement suivant « obtenir n’importe quel nombre de diamants, sauf 0 ». Donc, notre probabilité  peut se calculer en retranchant la valeur de p(X=0) à 1. Donc : \[p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)\] \[p(X\geqslant 1)=1-0,361\] \[p(X\geqslant 1)=0,638\]

On peut calculer l’espérance de cette loi binomiale grâce à la formule mentionnée plus haut. \[E(X)=n \cdot p=15 \times 0,048=0,72\]

Donc, on peut s’attendre à trouver 0,72 trésor en lançant 15 fois sa ligne de pêche. Aussi, vous devriez lancer plus de fois votre ligne pour espérer obtenir un trésor. L’espérance étant liée à n et p, il est possible de faire augmenter ces deux facteurs pour obtenir une espérance plus importante, par exemple 1, pour reprendre notre problématique.

On a \(E(X)=n \times p\). Donc : \[1=n \times p\] \[\Leftrightarrow n=\dfrac{1}{p}\] \[\Leftrightarrow n=\dfrac{1}{0,048}\] \[\Leftrightarrow n\simeq 21\]

Donc, si vous lancez votre ligne 21 fois, vous pouvez espérer trouver en moyenne un trésor. Cela ne signifie pas que vous en trouverez forcément un.

Dans ce cas-là, on a augmenté la valeur de n. Mais, peu désireux de relancer autant votre ligne (et donc de passer plus de temps à pêcher), vous pouvez également augmenter la valeur de p en enchantant votre canne à pêche afin d’obtenir plus de trésors, qui est donc dotée d’un enchantement Chance de la mer III.

Toujours en nous fiant à la page de Minecraft Wiki, la probabilité d’obtenir un trésor est donc de 0,113. La probabilité d’obtenir au moins un trésor avec cet enchantement (et toujours en 15 lancers) est donc : \[p(X\geqslant 1)=p(X=0)\] \[p(X\geqslant 1)=1-\binom{15}{0} \times 0,048^0 \times (1-0,048)^{15}\] \[p(X\geqslant 1)=0,834\]

Donc, la probabilité d’obtenir au moins un trésor en 15 lancers avec une canne à pêche Chance de la Mer III est 0,834.

Encore une fois, on peut calculer l’espérance de cette situation. \[E(X)=n \cdot p=15 \times 0,113=1,695\]

Donc, dans cette situation, vous pouvez donc espérer obtenir 1,695 trésor. En d’autres termes, espérez trouver 1 ou 2 trésor, avec une probabilité légèrement supérieure de trouver 2 trésors.

---

Minage et loi binomiale :

Le résultat d’une session de minage peut être modélisée par une loi binomiale car :

• Chaque bloc cassé a un succès (donner le minerai/item souhaité) et un échec (en obtenir un autre), donc deux issues avec une probabilité de succès dépendant de l’item voulu, mais connue grâce à cette page;
• Chaque minage de bloc est effectuée de façon successive (puisque lorsque je mine, je retente plusieurs fois ma chance);
• Le résultat de chaque lancer est aléatoire (puisque le bloc que vous cassez est généré aléatoirement);
• Chaque prise est effectuée de façon indépendante (le résultat d’une prise n’affecte pas la suivante, sauf dans le cas d’un filon, mais nous y reviendrons).

La loi binomiale peut donc nous permettre de déterminer la probabilité d’obtenir tel ou tel minerai/item au bout d’un certain nombre de blocs cassés.

Prenons un exemple concret : vous faites du minage optimisé autour de la couche 10 afin d’obtenir du diamant et faites donc des couloirs de deux blocs de hauteur. La probabilité d’obtenir un diamant à cette couche est de 0,001. Nous allons ici faire une première approximation et supposer que cette probabilité est la même aux couches 9, 11 et 12.

Chaque fois que vous allongez votre couloir d’un blocs, vous avez donc accès à 8 nouveaux blocs, en comptant ceux devant vous. Aussi, la probabilité susmentionnée est multipliée par 8.

Résumons. Chaque fois que vous allongez votre couloir d’un bloc, la probabilité de tomber sur un diamant est de 0,008. Mettons que vous avez à disposition une pioche en fer. Sachant que vous pouvez miner 251 blocs avec une telle pioche, vous pouvez donc allonger votre couloir de minage de 125 blocs.

Les minerais de diamant minés sur les parois latérales du couloir vont certes user de la durabilité à la pioche sans pour autant agrandir le couloir, mais cela est contrebalancé par le fait que vous serez amené à miner à la pelle d’éventuels blocs de terre ou de gravier. On va donc rester sur des paramètres de n=125 et p=0,008 pour la loi binomiale modélisant cette situation. On peut l’écrire ainsi : \(B(125;0,008)\) \(p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)\) \(p(X\geqslant 1)=0,634\)

Donc, la probabilité d’obtenir au moins un diamant à l’issue de votre session de minage est de 0,634.

A l’aide de l’espérance, on peut déterminer le nombre moyen de diamants que l’on trouve au cours d’une telle session de minage. \[E(X)=n \cdot p=125 \times 0,008=1\]

Donc, en creusant un couloir de deux blocs de hauteur avec une pioche en fer à la couche 10, vous trouverez en moyenne un diamant. Notez toutefois que, les diamants étant regroupés en filons, cette valeur est donnée à titres théorique et indicatif. Si on considère qu’un filon de diamant est composé en moyenne de 3 diamants (valeur approximative), considérez donc que vous trouverez 0,333 filon par session de minage.

Voilà qui conclut ce premier article consacré aux probabilités dans Minecraft. Si le concept vous plaît, d’autres articles pourront voir le jour, abordant toujours des notions vues au lycée et préalablement expliquées afin qu’elles soient comprises de tous. Dans tous les cas, si vous avez une question ou une remarque en rapport avec le thème de cet article, n’hésitez pas à utiliser les commentaires ci-dessous !